{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$11x+19y=25$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 19y منہا کریں۔

$$11x=-19y+25$$

11 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} کو -19y+25 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

دیگر مساوات 19x+11y=15، میں x کے لئے\frac{-19y+25}{11} کو متبادل کریں۔

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 کو \frac{-19y+25}{11} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

-\frac{361y}{11} کو 11y میں شامل کریں۔

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{475}{11} منہا کریں۔

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو -\frac{240}{11} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} میں y کے لئے \frac{31}{24} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

نیومیریٹر کو نیومیریٹر بار اور ڈینومینیٹر کو ڈینومینیٹر بار ضرب دے کر \frac{31}{24} کو -\frac{19}{11} مرتبہ ضرب دیں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو کم ترین اصطلاح تک کم کریں۔

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے \frac{25}{11} کو -\frac{589}{264} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=\frac{1}{24}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x اور 19x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 19 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 11 سے ضرب دیں۔

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

سادہ کریں۔

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 209x+121y=165 کو 209x+361y=475 سے منہا کریں۔

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

209x کو -209x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 209x اور -209x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$361y-121y=475-165$$

361y کو -121y میں شامل کریں۔

$$240y=475-165$$

475 کو -165 میں شامل کریں۔

$$240y=310$$

240 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15 میں y کے لئے \frac{31}{24} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 کو \frac{31}{24} مرتبہ ضرب دیں۔

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{341}{24} منہا کریں۔

$$19x=\frac{19}{24}$$

19 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{24}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$