{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=10$$

$$y=14$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$10x+5y=170$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 5y منہا کریں۔

$$10x=-5y+170$$

10 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} کو -5y+170 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

دیگر مساوات 6x+10y=200، میں x کے لئے-\frac{y}{2}+17 کو متبادل کریں۔

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 کو -\frac{y}{2}+17 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-3y+102+10y=200$$

-3y کو 10y میں شامل کریں۔

$$7y+102=200$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 102 منہا کریں۔

$$7y=98$$

7 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 میں y کے لئے 14 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} کو 14 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-7+17$$

17 کو -7 میں شامل کریں۔

$$x=10$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=10,y=14$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=10,y=14$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x اور 6x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 6 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 10 سے ضرب دیں۔

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

سادہ کریں۔

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 60x+100y=2000 کو 60x+30y=1020 سے منہا کریں۔

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x کو -60x میں شامل کریں۔ اصطلاحات 60x اور -60x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$30y-100y=1020-2000$$

30y کو -100y میں شامل کریں۔

$$-70y=1020-2000$$

1020 کو -2000 میں شامل کریں۔

$$-70y=-980$$

-70 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=14$$

6x+10y=200 میں y کے لئے 14 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$6x+10\times 14=200$$

10 کو 14 مرتبہ ضرب دیں۔

$$6x+140=200$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 140 منہا کریں۔

$$6x=60$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=10$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=10,y=14$$