{l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=0$$

$$y=1$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,2,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 کو ایک سے x+3y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 کو ایک سے y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 حاصل کرنے کے لئے 3 اور 3 کو ضرب دیں۔

$$4x+12y=6y+6+9x$$

6y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y حاصل کرنے کے لئے 12y اور -6y کو یکجا کریں۔

$$4x+6y=6+9x$$

9x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+6y-9x=6$$

-5x حاصل کرنے کے لئے 4x اور -9x کو یکجا کریں۔

$$-5x+6y=6$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 10 سے ضرب دیں، 5,2,10 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 کو ایک سے 3x+5y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 کو ایک سے x+4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x حاصل کرنے کے لئے 5x اور -x کو یکجا کریں۔

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 حاصل کرنے کے لئے 20 کو 9 سے تفریق کریں۔

$$6x+10y=4x+11-y$$

4x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x حاصل کرنے کے لئے 6x اور -4x کو یکجا کریں۔

$$2x+10y=11-y$$

دونوں اطراف میں y شامل کریں۔

$$2x+10y+y=11$$

11y حاصل کرنے کے لئے 10y اور y کو یکجا کریں۔

$$2x+11y=11$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$-5x+6y=6$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 6y منہا کریں۔

$$-5x=-6y+6$$

-5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

-\frac{1}{5} کو -6y+6 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

دیگر مساوات 2x+11y=11، میں x کے لئے\frac{-6+6y}{5} کو متبادل کریں۔

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

2 کو \frac{-6+6y}{5} مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

\frac{12y}{5} کو 11y میں شامل کریں۔

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{12}{5} کو شامل کریں۔

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{67}{5} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=1$$

x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5} میں y کے لئے 1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=\frac{6-6}{5}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{6}{5} کو \frac{6}{5} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$x=0$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=0,y=1$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,2,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 کو ایک سے x+3y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 کو ایک سے y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 حاصل کرنے کے لئے 3 اور 3 کو ضرب دیں۔

$$4x+12y=6y+6+9x$$

6y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y حاصل کرنے کے لئے 12y اور -6y کو یکجا کریں۔

$$4x+6y=6+9x$$

9x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+6y-9x=6$$

-5x حاصل کرنے کے لئے 4x اور -9x کو یکجا کریں۔

$$-5x+6y=6$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 10 سے ضرب دیں، 5,2,10 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 کو ایک سے 3x+5y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 کو ایک سے x+4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x حاصل کرنے کے لئے 5x اور -x کو یکجا کریں۔

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 حاصل کرنے کے لئے 20 کو 9 سے تفریق کریں۔

$$6x+10y=4x+11-y$$

4x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x حاصل کرنے کے لئے 6x اور -4x کو یکجا کریں۔

$$2x+10y=11-y$$

دونوں اطراف میں y شامل کریں۔

$$2x+10y+y=11$$

11y حاصل کرنے کے لئے 10y اور y کو یکجا کریں۔

$$2x+11y=11$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=0,y=1$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 12 سے ضرب دیں، 3,2,4 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 کو ایک سے x+3y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 کو ایک سے y+1 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 حاصل کرنے کے لئے 3 اور 3 کو ضرب دیں۔

$$4x+12y=6y+6+9x$$

6y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y حاصل کرنے کے لئے 12y اور -6y کو یکجا کریں۔

$$4x+6y=6+9x$$

9x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$4x+6y-9x=6$$

-5x حاصل کرنے کے لئے 4x اور -9x کو یکجا کریں۔

$$-5x+6y=6$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 10 سے ضرب دیں، 5,2,10 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 کو ایک سے 3x+5y ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 کو ایک سے x+4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 کا متضاد تلاش کرنے کے لئے، ہر اصطلاح کا متضاد تلاش کریں۔

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x حاصل کرنے کے لئے 5x اور -x کو یکجا کریں۔

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 حاصل کرنے کے لئے 20 کو 9 سے تفریق کریں۔

$$6x+10y=4x+11-y$$

4x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x حاصل کرنے کے لئے 6x اور -4x کو یکجا کریں۔

$$2x+10y=11-y$$

دونوں اطراف میں y شامل کریں۔

$$2x+10y+y=11$$

11y حاصل کرنے کے لئے 10y اور y کو یکجا کریں۔

$$2x+11y=11$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

-5x اور 2x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر 2 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب -5 سے ضرب دیں۔

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

سادہ کریں۔

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -10x-55y=-55 کو -10x+12y=12 سے منہا کریں۔

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

-10x کو 10x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -10x اور 10x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$12y+55y=12+55$$

12y کو 55y میں شامل کریں۔

$$67y=12+55$$

12 کو 55 میں شامل کریں۔

$$67y=67$$

67 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=1$$

2x+11y=11 میں y کے لئے 1 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$2x+11=11$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 11 منہا کریں۔

$$2x=0$$

2 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=0$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=0,y=1$$