{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} حل کریں

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y اقدار -5,0 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو y\left(y+5\right) سے ضرب دیں، y+5,y کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y کو ایک سے x+2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 کو ایک سے x+7 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 حاصل کرنے کے لئے yx اور -yx کو یکجا کریں۔

$$2y=7y+5x+35$$

7y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$2y-7y=5x+35$$

-5y حاصل کرنے کے لئے 2y اور -7y کو یکجا کریں۔

$$-5y=5x+35$$

-5 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5} کو 35+5x مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=-x-7$$

دیگر مساوات -4y+2x=-1، میں y کے لئے-x-7 کو متبادل کریں۔

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4 کو -x-7 مرتبہ ضرب دیں۔

$$4x+28+2x=-1$$

4x کو 2x میں شامل کریں۔

$$6x+28=-1$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 28 منہا کریں۔

$$6x=-29$$

6 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7 میں x کے لئے -\frac{29}{6} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ y کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1 کو -\frac{29}{6} مرتبہ ضرب دیں۔

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7 کو \frac{29}{6} میں شامل کریں۔

$$y=-\frac{13}{6}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y اقدار -5,0 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو y\left(y+5\right) سے ضرب دیں، y+5,y کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y کو ایک سے x+2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 کو ایک سے x+7 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 حاصل کرنے کے لئے yx اور -yx کو یکجا کریں۔

$$2y=7y+5x+35$$

7y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$2y-7y=5x+35$$

-5y حاصل کرنے کے لئے 2y اور -7y کو یکجا کریں۔

$$-5y=5x+35$$

5x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-5y-5x=35$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے y اور x عناصر کو اخذ کریں۔

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ y اقدار -5,0 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو y\left(y+5\right) سے ضرب دیں، y+5,y کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y کو ایک سے x+2 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 کو ایک سے x+7 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 حاصل کرنے کے لئے yx اور -yx کو یکجا کریں۔

$$2y=7y+5x+35$$

7y کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$2y-7y=5x+35$$

-5y حاصل کرنے کے لئے 2y اور -7y کو یکجا کریں۔

$$-5y=5x+35$$

5x کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-5y-5x=35$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y اور -4y کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر -4 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب -5 سے ضرب دیں۔

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

سادہ کریں۔

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے 20y-10x=5 کو 20y+20x=-140 سے منہا کریں۔

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y کو -20y میں شامل کریں۔ اصطلاحات 20y اور -20y قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$20x+10x=-140-5$$

20x کو 10x میں شامل کریں۔

$$30x=-140-5$$

-140 کو -5 میں شامل کریں۔

$$30x=-145$$

30 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1 میں x کے لئے -\frac{29}{6} کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ y کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2 کو -\frac{29}{6} مرتبہ ضرب دیں۔

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{29}{3} کو شامل کریں۔

$$-4y=\frac{26}{3}$$

-4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=-\frac{13}{6}$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$