x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 حل کریں

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x، y کے لئے حل کریں

$$x=14$$

$$y=9$$

متبادل استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 21 سے ضرب دیں، 7,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3x+7y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 14 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-x+42y=364$$

متبادل کا استعمال کرتے ہوئے مساواتوں کے جوڑے کو حل کرنے کے لیئے، پہلے کسی ایک متغیر کے لیئے مساواتوں میں سے کسی ایک کو حل کریں۔ پھر اس متغیر کے لیئے نتائج کو کسی دوسری مساوات میں متبادل کریں۔

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

مساوی نشان کی بائیں ہاتھ کی جانب x کو اکیلا کر کے ان مساوات میں سے ایک کا انتخاب کریں اور اسے x کے لئے حل کریں۔

$$3x+7y=105$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 7y منہا کریں۔

$$3x=-7y+105$$

3 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

\frac{1}{3} کو -7y+105 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

دیگر مساوات -x+42y=364، میں x کے لئے-\frac{7y}{3}+35 کو متبادل کریں۔

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-1 کو -\frac{7y}{3}+35 مرتبہ ضرب دیں۔

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

\frac{7y}{3} کو 42y میں شامل کریں۔

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 35 کو شامل کریں۔

$$\frac{133}{3}y=399$$

مساوات کی دونوں اطراف کو \frac{133}{3} سے تقسیم کریں، جو کہ دونوں اطراف کو کسر کے معکوس کو ضرب دینے کی طرح ہے۔

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35 میں y کے لئے 9 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

-\frac{7}{3} کو 9 مرتبہ ضرب دیں۔

$$x=-21+35$$

35 کو -21 میں شامل کریں۔

$$x=14$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=14,y=9$$

میٹرکس کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 21 سے ضرب دیں، 7,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3x+7y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 14 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-x+42y=364$$

مساواتوں کو معیاری وضع میں ڈالیں اور پھر مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے میٹرکس استعمال کریں۔

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

مساواتوں کو میٹرکس صورت میں لکھیں۔

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) کے معکوس میٹرکس سے بائیں جانب مساوات سے ضرب دیں۔

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

ایک میٹرکس کا حاصل ضرب اور اس کا معکوس شناختی میٹرکس ہے۔

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

مساوی نشان کے بائیں ہاتھ کی جانب میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 میٹرکس \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) کے لئے، معکوس میٹرکس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ہے، لہذا میٹرکس مساوات کو میٹرکس ضرب مسئلہ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کو ضرب دیں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

حساب کریں۔

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

میٹرکس کے x اور y عناصر کو اخذ کریں۔

$$x=14,y=9$$

خاتمے کا استعمال کرنے کے اقدامات

پہلی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کی دونوں اطراف کو 21 سے ضرب دیں، 7,3 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$3x+7y=105$$

دوسری مساوات پر غور کریں۔ 14 سے مساوات کی دونوں اطراف کو ضرب دیں۔

$$-x+42y=364$$

خارجی طریقے سے حل کرنے کے لیئے، متغیرات میں سے کسی ایک کا عددی سر دونوں مساوات میں لازمی ایک جیسا ہونا چاہیئے تا کہ ایک متغیر دوسرے متغیر سے تفریق ہونے کی صورت میں متغیرات منسوخ ہوجائیں۔

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x اور -x کو برابر بنانے کے لئے، تمام اصطلاحات کو پہلے قاعدے پر -1 سے اور تمام اصطلاحات کو دوسرے کی ہر ایک جانب 3 سے ضرب دیں۔

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

سادہ کریں۔

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

مساوی نشان کی ہر جانب ایک جیسے اصطلاحات کو تفریق کر کے -3x+126y=1092 کو -3x-7y=-105 سے منہا کریں۔

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

-3x کو 3x میں شامل کریں۔ اصطلاحات -3x اور 3x قلم زد ہو گئے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات میں صرف ایک متغیر باقی ہے جے حل کیا جا سکتا ہے۔

$$-7y-126y=-105-1092$$

-7y کو -126y میں شامل کریں۔

$$-133y=-105-1092$$

-105 کو -1092 میں شامل کریں۔

$$-133y=-1197$$

-133 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$y=9$$

-x+42y=364 میں y کے لئے 9 کو متبادل کریں۔ کیونکہ نتیجہ دار مساوات صرف ایک ہی متغیرہ کا حامل ہے، آپ x کے لیئے براہ راست حل کر سکتے ہیں۔

$$-x+42\times 9=364$$

42 کو 9 مرتبہ ضرب دیں۔

$$-x+378=364$$

مساوات کے دونوں اطراف سے 378 منہا کریں۔

$$-x=-14$$

-1 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$x=14$$

نظام اب حل ہو گیا ہے۔

$$x=14,y=9$$