1/n^2+11n+30=1/n+5-4 حل کریں

$$\frac { 1 } { n ^ { 2 } + 11 n + 30 } = \frac { 1 } { n + 5 } - 4$$

n کے لئے حل کریں

$$n = -\frac{23}{4} = -5\frac{3}{4} = -5.75$$

گروپنگ کے ذریعے فیکٹرنگ کا استعمال کرتے ہوئے اقدامات کریں

جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ n اقدار -6,-5 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو \left(n+5\right)\left(n+6\right) سے ضرب دیں، n^{2}+11n+30,n+5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

n+5 کو ایک سے n+6 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں اور ایک جیسی اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

n^{2}+11n+30 کو ایک سے -4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

-43n حاصل کرنے کے لئے n اور -44n کو یکجا کریں۔

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

-114 حاصل کرنے کے لئے 6 کو 120 سے تفریق کریں۔

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

اطراف ادل بدل کریں تاکہ تمام متغیر اصطلاحات بائیں ہاتھ کی جانب ہوں۔

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

1 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

-115 حاصل کرنے کے لئے -114 کو 1 سے تفریق کریں۔

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

معیاری وضع میں ڈالنے کیلئے پالینامیئل کو پھر ترتیب دیں۔ اصطلاحات کو سب سے زیادہ سے کم ترین پاور کے لحاظ سے ترتیب دیں۔

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

مساوات حل کرنے کیلئے، گروپنگ کرکے بائیں جانب فیکٹر کریں۔ پہلے، بائیں جانب کو -4n^{2}+an+bn-115 بطور دوبارہ لکھنا ہو گا۔ a اور b حاصل کرنے کی غرض سے، حل کرنے کیلئے سسٹم سیٹ کریں۔

$$a+b=-43 ab=-4\left(-115\right)=460$$

چونکہ ab مثبت ہے، a اور b کی علامت یکساں ہے۔ چونکہ a+b منفی ہے، a اور b بھی منفی ہیں۔ ایسے تمام صحیح اعداد کے جوڑے درج کریں جن کا حاصل 460 ہوتا ہے۔

$$-1,-460 -2,-230 -4,-115 -5,-92 -10,-46 -20,-23$$

ہر جوڑے کی رقم کا حساب لگائیں۔

$$-1-460=-461 -2-230=-232 -4-115=-119 -5-92=-97 -10-46=-56 -20-23=-43$$

حل ایک جوڑا ہے جو میزان -43 دیتا ہے۔

$$a=-20 b=-23$$

-4n^{2}-43n-115 کو بطور \left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right) دوبارہ تحریر کریں۔

$$\left(-4n^{2}-20n\right)+\left(-23n-115\right)$$

پہلے گروپ میں 4n اور دوسرے میں 23 اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$4n\left(-n-5\right)+23\left(-n-5\right)$$

عام اصطلاح -n-5 کا منقسم خاصیت استعمال کرتے ہوئے اجزائے ضربی میں تقسیم کریں۔

$$\left(-n-5\right)\left(4n+23\right)$$

مساوات کا حل تلاش کرنے کیلئے، -n-5=0 اور 4n+23=0 حل کریں۔

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

متغیرہ n اقدار -5 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔

$$n=-\frac{23}{4}$$

مربعی فارمولا کا استعمال کرنے کے اقدامات

جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ n اقدار -6,-5 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو \left(n+5\right)\left(n+6\right) سے ضرب دیں، n^{2}+11n+30,n+5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

n+5 کو ایک سے n+6 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں اور ایک جیسی اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

n^{2}+11n+30 کو ایک سے -4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

-43n حاصل کرنے کے لئے n اور -44n کو یکجا کریں۔

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

-114 حاصل کرنے کے لئے 6 کو 120 سے تفریق کریں۔

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

اطراف ادل بدل کریں تاکہ تمام متغیر اصطلاحات بائیں ہاتھ کی جانب ہوں۔

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

1 کو دونوں طرف سے منہا کریں۔

$$-43n-114-4n^{2}-1=0$$

-115 حاصل کرنے کے لئے -114 کو 1 سے تفریق کریں۔

$$-43n-115-4n^{2}=0$$

اس فارم ax^{2}+bx+c=0 کی تمام مساواتیں مربعی فارمولہ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} کو استعمال کرتے ہوئے حل کی جاسکتی ہیں۔ مربعی فارمولا دو طرح کے حل فراہم کرتا ہے۔ ایک جب ± جمع شدہ ہوتا ہے اور تب جب یہ منہا کردہ ہوتا ہے۔

$$-4n^{2}-43n-115=0$$

یہ مساوات معیاری وضع میں ہے: ax^{2}+bx+c=0۔ مربعی فارمولا \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} میں a کے لئے -4 کو، b کے لئے -43 کو اور c کے لئے -115 کو متبادل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

مربع -43۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\left(-4\right)\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 کو -4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+16\left(-115\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 کو -115 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-1840}}{2\left(-4\right)}$$

1849 کو -1840 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{9}}{2\left(-4\right)}$$

9 کا جذر لیں۔

$$n=\frac{-\left(-43\right)±3}{2\left(-4\right)}$$

-43 کا مُخالف 43 ہے۔

$$n=\frac{43±3}{2\left(-4\right)}$$

2 کو -4 مرتبہ ضرب دیں۔

$$n=\frac{43±3}{-8}$$

جب ± جمع ہو تو اب مساوات n=\frac{43±3}{-8} کو حل کریں۔ 43 کو 3 میں شامل کریں۔

$$n=\frac{46}{-8}$$

2 کو اخذ اور منسوخ کرتے ہوئے \frac{46}{-8} کسر کو کم تر اصطلاحات تک گھٹائیں۔

$$n=-\frac{23}{4}$$

جب ± منفی ہو تو اب مساوات n=\frac{43±3}{-8} کو حل کریں۔ 3 کو 43 میں سے منہا کریں۔

$$n=\frac{40}{-8}$$

40 کو -8 سے تقسیم کریں۔

$$n=-5$$

مساوات اب حل ہو گئی ہے۔

$$n=-\frac{23}{4} n=-5$$

متغیرہ n اقدار -5 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔

$$n=-\frac{23}{4}$$

مربع مکمل کرنے کے لیے اقدامات

جبکہ زیرو کے ساتھ تقسیم واضح نہیں کی گئی ہے تو متغیرہ n اقدار -6,-5 میں سے کسی کے بھی مساوی نہیں ہو سکتا۔ مساوات کی دونوں اطراف کو \left(n+5\right)\left(n+6\right) سے ضرب دیں، n^{2}+11n+30,n+5 کا سب کم سے کم مشترک حاصل ضرب۔

$$1=n+6+\left(n+5\right)\left(n+6\right)\left(-4\right)$$

n+5 کو ایک سے n+6 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں اور ایک جیسی اصطلاحات کو یکجا کریں۔

$$1=n+6+\left(n^{2}+11n+30\right)\left(-4\right)$$

n^{2}+11n+30 کو ایک سے -4 ضرب دینے کے لیئے منقسم خاصیت کا استعمال کریں۔

$$1=n+6-4n^{2}-44n-120$$

-43n حاصل کرنے کے لئے n اور -44n کو یکجا کریں۔

$$1=-43n+6-4n^{2}-120$$

-114 حاصل کرنے کے لئے 6 کو 120 سے تفریق کریں۔

$$1=-43n-114-4n^{2}$$

اطراف ادل بدل کریں تاکہ تمام متغیر اصطلاحات بائیں ہاتھ کی جانب ہوں۔

$$-43n-114-4n^{2}=1$$

دونوں اطراف میں 114 شامل کریں۔

$$-43n-4n^{2}=1+114$$

115 حاصل کرنے کے لئے 1 اور 114 شامل کریں۔

$$-43n-4n^{2}=115$$

اس قسم کی مربعی قواعد مربع مکمل کرنے کے بعد حل ہوسکتی ہیں۔ مربع کو مکمل کرنے کے لیئے، مساوات کو پہلے اس شکل میں ہونا ضروری ہے x^{2}+bx=c۔

$$-4n^{2}-43n=115$$

-4 سے دونوں اطراف کو تقسیم کریں۔

$$\frac{-4n^{2}-43n}{-4}=\frac{115}{-4}$$

-4 سے تقسیم کرنا -4 سے ضرب کو کالعدم کرتا ہے۔

$$n^{2}+\left(-\frac{43}{-4}\right)n=\frac{115}{-4}$$

-43 کو -4 سے تقسیم کریں۔

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=\frac{115}{-4}$$

115 کو -4 سے تقسیم کریں۔

$$n^{2}+\frac{43}{4}n=-\frac{115}{4}$$

2 سے \frac{43}{8} حاصل کرنے کے لیے، \frac{43}{4} کو x اصطلاح کے کو ایفیشنٹ سے تقسیم کریں۔ پھر \frac{43}{8} کے مربع کو مساوات کی دونوں جانب جمع کریں۔ یہ مرحلہ مساوات کی بائیں ہاتھ کی جانب کو ایک مکمل مربع بناتا ہے۔

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}=-\frac{115}{4}+\left(\frac{43}{8}\right)^{2}$$

کسر کا نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں پر مربع لگا کر \frac{43}{8} کو مربع کریں۔

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=-\frac{115}{4}+\frac{1849}{64}$$

ایک مشترکہ ڈینومینیٹر کو ڈھونڈتے ہوئے اور نیومیریٹر کو شامل کر کے -\frac{115}{4} کو \frac{1849}{64} میں شامل کریں۔ اور پھر کسر کو اگر ممکن ہو تو پست ترین اصطلاح تک گھٹائیں۔

$$n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}=\frac{9}{64}$$

فیکٹر n^{2}+\frac{43}{4}n+\frac{1849}{64}۔ عمومی طور پر جب x^{2}+bx+c ایک کامل مربع ہوگا تو اسے ہمیشہ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} کی طرح فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔

$$\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

مساوات کی دونوں اطراف کا جذر لیں۔

$$\sqrt{\left(n+\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

سادہ کریں۔

$$n+\frac{43}{8}=\frac{3}{8} n+\frac{43}{8}=-\frac{3}{8}$$

مساوات کے دونوں اطراف سے \frac{43}{8} منہا کریں۔

$$n=-5 n=-\frac{23}{4}$$

متغیرہ n اقدار -5 کے مساوی نہیں ہو سکتا۔

$$n=-\frac{23}{4}$$