Розв'яжіть x^2-x-2>0

$$x ^ { 2 } - x - 2 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±3}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±3}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=2 x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x-2 і x+1 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x-2 і x+1 від’ємні.

$$x-2<0 x+1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-1.

$$x<-1$$

Розглянемо випадок, коли x-2 і x+1 додатні.

$$x+1>0 x-2>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>2.

$$x>2$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-1\text{; }x>2$$