Розв'яжіть x^2-5x-1=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{29} + 5}{2} \approx 5,192582404$$

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}\approx -0,192582404$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4}}{2}$$

Додайте 25 до 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{29}}{2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{29}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{29}.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{29} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$x^{2}-5x=1$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=1+\frac{25}{4}$$

Додайте 1 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$