Розв'яжіть x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 1 замість a, -15 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Помножте -4 на -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Додайте 225 до 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} за додатного значення ±. Додайте 15 до 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{29} від 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Поділіть -15 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{15}{2}. Потім додайте -\frac{15}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{15}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Додайте 9 до \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Розкладіть x^{2}-15x+\frac{225}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Додайте \frac{15}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$