Розв'яжіть f(x)=2x^2-8x-42

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 8 x - 42$$

Розкласти на множники

$$2\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 2 за дужки.

$$2\left(x^{2}-4x-21\right)$$

Розглянемо x^{2}-4x-21. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді x^{2}+ax+bx-21. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -21.

$$1,-21 3,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-7 b=3$$

Перепишіть x^{2}-4x-21 як \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

x на першій та 3 в друге групу.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$2\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-8x-42=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-42\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -42.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\times 2}$$

Додайте 64 до 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$x=\frac{8±20}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{8±20}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±20}{4} за додатного значення ±. Додайте 8 до 20.

$$x=\frac{28}{4}$$

Розділіть 28 на 4.

$$x=7$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±20}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 20 від 8.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Розділіть -12 на 4.

$$x=-3$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 7 на x_{1} та -3 на x_{2}.

$$2x^{2}-8x-42=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$2x^{2}-8x-42=2\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Обчислити

$$2\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$