Розв'яжіть a^4+1-2a^2

$$a ^ { 4 } + 1 - 2 a ^ { 2 }$$

Розкласти на множники

$$\left(a-1\right)^{2}\left(a+1\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{4}-2a^{2}+1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член 1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=1$$

За допомогою Ньютона, a-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть a^{4}-2a^{2}+1 на a-1, щоб отримати a^{3}+a^{2}-a-1. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{3}+a^{2}-a-1=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -1, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$a=1$$

За допомогою Ньютона, a-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть a^{3}+a^{2}-a-1 на a-1, щоб отримати a^{2}+2a+1. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$a^{2}+2a+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 2 – на b, а 1 – на c.

$$a=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{-2±0}{2}$$

Розв’язки збігаються.

$$a=-1$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів.

$$\left(a-1\right)^{2}\left(a+1\right)^{2}$$

Обчислити

$$\left(a^{2}-1\right)^{2}$$