Розв'яжіть a^2-2<a

$$a ^ { 2 } - 2 < a$$

Знайти a

$$a\in \left(-1,2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть a з обох сторін.

$$a^{2}-2-a<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-2-a=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -1 – на b, а -2 – на c.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{1±3}{2}$$

Розв’яжіть рівняння a=\frac{1±3}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$a=2 a=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(a-2\right)\left(a+1\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, a-2 і a+1 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли a-2 має додатне значення, а a+1 – від’ємне.

$$a-2>0 a+1<0$$

Це не виконується для жодного значення a.

$$a\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли a+1 має додатне значення, а a-2 – від’ємне.

$$a+1>0 a-2<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: a\in \left(-1,2\right).

$$a\in \left(-1,2\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$a\in \left(-1,2\right)$$