Розв'яжіть a^2+3a-60>0

$$a ^ { 2 } + 3 a - 60 > 0$$

Знайти a

$$a\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{249}-3}{2},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}+3a-60=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 3 – на b, а -60 – на c.

$$a=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\left(-60\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$a=\frac{-3±\sqrt{249}}{2}$$

Розв’яжіть рівняння a=\frac{-3±\sqrt{249}}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$a=\frac{\sqrt{249}-3}{2} a=\frac{-\sqrt{249}-3}{2}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}\right)\left(a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} і a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} і a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} від’ємні.

$$a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}<0 a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}.

$$a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}$$

Розглянемо випадок, коли a-\frac{\sqrt{249}-3}{2} і a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2} додатні.

$$a-\frac{-\sqrt{249}-3}{2}>0 a-\frac{\sqrt{249}-3}{2}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}.

$$a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$a<\frac{-\sqrt{249}-3}{2}\text{; }a>\frac{\sqrt{249}-3}{2}$$