Розв'яжіть 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Розкласти на множники

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 9y^{2}+ay+by-48. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -104.

$$a=-108 b=4$$

Перепишіть 9y^{2}-104y-48 як \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

9y на першій та 4 в друге групу.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -104 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Додайте 10816 до 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -104, дорівнює 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{104±112}{18} за додатного значення ±. Додайте 104 до 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Розділіть 216 на 18.

$$y=12$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{104±112}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 112 від 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-8}{18} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 12 на x_{1} та -\frac{4}{9} на x_{2}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{4}{9} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Відкиньте 9, тобто найбільший спільний дільник для 9 й 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Обчислити

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$