Розв'яжіть 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 25 з обох сторін.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Відніміть 25 від 9, щоб отримати -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx-16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-9 b=16$$

Перепишіть 9x^{2}+7x-16 як \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

9x на першій та 16 в друге групу.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Відніміть 25 від 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, 7 замість b і -16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Додайте 49 до 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±25}{18} за додатного значення ±. Додайте -7 до 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Розділіть 18 на 18.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±25}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 25 від -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-32}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Відніміть 9 від 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Поділіть \frac{7}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{18}. Потім додайте \frac{7}{18} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{18} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Щоб додати \frac{16}{9} до \frac{49}{324}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Відніміть \frac{7}{18} від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$