Розв'яжіть 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx+16. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -24.

$$a=-12 b=-12$$

Перепишіть 9x^{2}-24x+16 як \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

3x на першій та -4 в друге групу.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -24 замість b і 16 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Піднесіть -24 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Додайте 576 до -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -24, дорівнює 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{24}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Відніміть 16 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Якщо відняти 16 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-24}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Поділіть -\frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{3}. Потім додайте -\frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Щоб додати -\frac{16}{9} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Розкладіть x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Додайте \frac{4}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{4}{3}$$