Розв'яжіть 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx+4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-6 b=-6$$

Перепишіть 9x^{2}-12x+4 як \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

3x на першій та -2 в друге групу.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Щоб знайти розв’язок рівняння, обчисліть 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -12 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Додайте 144 до -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{12}{18} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Відніміть 4 від обох сторін цього рівняння.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Якщо відняти 4 від самого себе, залишиться 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Розділіть обидві сторони на 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Ділення на 9 скасовує множення на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-12}{9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Поділіть -\frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{3}. Потім додайте -\frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Щоб додати -\frac{4}{9} до \frac{4}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Додайте \frac{2}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано. Розв’язки збігаються.

$$x=\frac{2}{3}$$