Розв'яжіть 8x^2-9x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 8x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-8 b=-1$$

Перепишіть 8x^{2}-9x+1 як \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

8x на першій та -1 в друге групу.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -9 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Додайте 81 до -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±7}{16} за додатного значення ±. Додайте 9 до 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Розділіть 16 на 16.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±7}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{16} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Поділіть -\frac{9}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{16}. Потім додайте -\frac{9}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{16} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Щоб додати -\frac{1}{8} до \frac{81}{256}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Додайте \frac{9}{16} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$