Розв'яжіть 8x^2-4x+3=0

$$8 x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{5}i}{4}\approx 0,25+0,559016994i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+1}{4}\approx 0,25-0,559016994i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}-4x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, -4 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-32\times 3}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 8}$$

Додайте 16 до -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із -80.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 8}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{16} за додатного значення ±. Додайте 4 до 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{5}i}{16}$$

Розділіть 4+4i\sqrt{5} на 16.

$$x=\frac{1+\sqrt{5}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{5} від 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{16}$$

Розділіть 4-4i\sqrt{5} на 16.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{5}i}{4} x=\frac{-\sqrt{5}i+1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-4x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}-4x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}-4x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}-4x}{8}=-\frac{3}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{8}\right)x=-\frac{3}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{3}{8}$$

Поділіть -\frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{4}. Потім додайте -\frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{8}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{8}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати -\frac{3}{8} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{5}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}i}{4}$$

Додайте \frac{1}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{5}i}{4} x=\frac{-\sqrt{5}i+1}{4}$$