Розв'яжіть 8t^2+10t-3=0

$$8 t ^ { 2 } + 10 t - 3 = 0$$

Знайдіть t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 8t^{2}+at+bt-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=10 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=-2 b=12$$

Перепишіть 8t^{2}+10t-3 як \left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right).

$$\left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right)$$

2t на першій та 3 в друге групу.

$$2t\left(4t-1\right)+3\left(4t-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4t-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4t-1\right)\left(2t+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 4t-1=0 та 2t+3=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 10 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -3.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 8}$$

Додайте 100 до 96.

$$t=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 196.

$$t=\frac{-10±14}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$t=\frac{-10±14}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-10±14}{16} за додатного значення ±. Додайте -10 до 14.

$$t=\frac{4}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{16} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{-10±14}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 14 від -10.

$$t=-\frac{24}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-24}{16} до нескоротного вигляду.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$8t^{2}+10t-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$8t^{2}+10t=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$8t^{2}+10t=3$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8t^{2}+10t}{8}=\frac{3}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$t^{2}+\frac{10}{8}t=\frac{3}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{8} до нескоротного вигляду.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t=\frac{3}{8}$$

Поділіть \frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{8}. Потім додайте \frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати \frac{3}{8} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{49}{64}$$

Розкладіть t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$t+\frac{5}{8}=\frac{7}{8} t+\frac{5}{8}=-\frac{7}{8}$$

Відніміть \frac{5}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$