Розв'яжіть 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 1 від 772, щоб отримати 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Помножте нерівність на -1, щоб коефіцієнт при найвищому ступені в 771-2x^{2}+x був додатний. Оскільки -1 від'ємне, нерівність напрямок.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -1 – на b, а -771 – на c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} і x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} і x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} і x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$