Розв'яжіть 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 4 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Додайте 16 до -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -124.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Розділіть -4+2i\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{31} від -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Розділіть -4-2i\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Поділіть \frac{4}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{5}. Потім додайте \frac{2}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Щоб додати -\frac{7}{5} до \frac{4}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Відніміть \frac{2}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$