Розв'яжіть 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, -12 замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Додайте 144 до -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} за додатного значення ±. Додайте 12 до 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Розділіть 12+4i\sqrt{5} на 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{5} від 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Розділіть 12-4i\sqrt{5} на 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Поділіть -\frac{12}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{6}{7}. Потім додайте -\frac{6}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{6}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Щоб додати -\frac{8}{7} до \frac{36}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Додайте \frac{6}{7} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$