Розв'яжіть 7x^2+12x-11=0

$$7 x ^ { 2 } + 12 x - 11 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7}\approx 0,661449402$$

$$x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}\approx -2,375735116$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7x^{2}+12x-11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, 12 замість b і -11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -11.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+308}}{2\times 7}$$

Додайте 144 до 308.

$$x=\frac{-12±\sqrt{452}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 452.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14} за додатного значення ±. Додайте -12 до 2\sqrt{113}.

$$x=\frac{2\sqrt{113}-12}{14}$$

Розділіть -12+2\sqrt{113} на 14.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{113} від -12.

$$x=\frac{-2\sqrt{113}-12}{14}$$

Розділіть -12-2\sqrt{113} на 14.

$$x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7} x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+12x-11=0$$

Додайте 11 до обох сторін цього рівняння.

$$7x^{2}+12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Якщо відняти -11 від самого себе, залишиться 0.

$$7x^{2}+12x=-\left(-11\right)$$

Відніміть -11 від 0.

$$7x^{2}+12x=11$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7x^{2}+12x}{7}=\frac{11}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x=\frac{11}{7}$$

Поділіть \frac{12}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{6}{7}. Потім додайте \frac{6}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{6}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{11}{7}+\frac{36}{49}$$

Щоб додати \frac{11}{7} до \frac{36}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{113}{49}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{113}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{113}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{6}{7}=\frac{\sqrt{113}}{7} x+\frac{6}{7}=-\frac{\sqrt{113}}{7}$$

Відніміть \frac{6}{7} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7} x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$