Розв'яжіть 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Знайдіть n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 7n^{2}+an+bn-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 39.

$$a=-3 b=42$$

Перепишіть 7n^{2}+39n-18 як \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

n на першій та 6 в друге групу.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7n-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 7n-3=0 та n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 7 замість a, 39 замість b і -18 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Піднесіть 39 до квадрата.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -4 на 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Помножте -28 на -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Додайте 1521 до 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Помножте 2 на 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-39±45}{14} за додатного значення ±. Додайте -39 до 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{6}{14} до нескоротного вигляду.

$$n=\frac{3}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{-39±45}{14} за від’ємного значення ±. Відніміть 45 від -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Розділіть -84 на 14.

$$n=-6$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Додайте 18 до обох сторін цього рівняння.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Якщо відняти -18 від самого себе, залишиться 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Відніміть -18 від 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Розділіть обидві сторони на 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Ділення на 7 скасовує множення на 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Поділіть \frac{39}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{39}{14}. Потім додайте \frac{39}{14} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{39}{14} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Щоб додати \frac{18}{7} до \frac{1521}{196}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Розкладіть n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Виконайте спрощення.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Відніміть \frac{39}{14} від обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$