Розв'яжіть 6x^2-x-40

$$6 x ^ { 2 } - x - 40$$

Розкласти на множники

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 6x^{2}+ax+bx-40. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-16 b=15$$

Перепишіть 6x^{2}-x-40 як \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

2x на першій та 5 в друге групу.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-8, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Додайте 1 до 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±31}{12} за додатного значення ±. Додайте 1 до 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{32}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{8}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±31}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 31 від 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{8}{3} на x_{1} та -\frac{5}{2} на x_{2}.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{8}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\times \frac{2x+5}{2}$$

Щоб помножити \frac{3x-8}{3} на \frac{2x+5}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{3\times 2}$$

Помножте 3 на 2.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{6}$$

Відкиньте 6, тобто найбільший спільний дільник для 6 й 6.

$$6x^{2}-x-40=\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Обчислити

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$