Розв'яжіть 6x^2-15x+12=0

$$6 x ^ { 2 } - 15 x + 12 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1,25-0,661437828i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-15x+12=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -15 замість b і 12 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24\times 12}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 12.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-288}}{2\times 6}$$

Додайте 225 до -288.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-63}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із -63.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} за додатного значення ±. Додайте 15 до 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{7}i}{12}$$

Розділіть 15+3i\sqrt{7} на 12.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{7} від 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+15}{12}$$

Розділіть 15-3i\sqrt{7} на 12.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-15x+12=0$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-15x+12-12=-12$$

Якщо відняти 12 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-15x=-12$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-15x}{6}=-\frac{12}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{6}\right)x=-\frac{12}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-15}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{6}$$

Розділіть -12 на 6.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Додайте -2 до \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$