Розв'яжіть 6b^2-27b-15

$$6 b ^ { 2 } - 27 b - 15$$

Розкласти на множники

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Винесіть 3 за дужки.

$$3\left(2b^{2}-9b-5\right)$$

Розглянемо 2b^{2}-9b-5. Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2b^{2}+pb+qb-5. Щоб знайти p та q, настройте систему для вирішено.

$$p+q=-9 pq=2\left(-5\right)=-10$$

Оскільки pq від'ємне, p і q протилежному знаки. Оскільки значення p+q від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -10.

$$1,-10 2,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$p=-10 q=1$$

Перепишіть 2b^{2}-9b-5 як \left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right).

$$\left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right)$$

Винесіть за дужки 2b в 2b^{2}-10b.

$$2b\left(b-5\right)+b-5$$

Винесіть за дужки спільний член b-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Переписати повністю розкладений на множники вираз.

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6b^{2}-27b-15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -27 до квадрата.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -15.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+360}}{2\times 6}$$

Додайте 729 до 360.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1089.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±33}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -27, дорівнює 27.

$$b=\frac{27±33}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$b=\frac{27±33}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння b=\frac{27±33}{12} за додатного значення ±. Додайте 27 до 33.

$$b=\frac{60}{12}$$

Розділіть 60 на 12.

$$b=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння b=\frac{27±33}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 33 від 27.

$$b=-\frac{6}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-6}{12} до нескоротного вигляду.

$$b=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 5 на x_{1} та -\frac{1}{2} на x_{2}.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до b, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\times \frac{2b+1}{2}$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 6 й 2.

$$6b^{2}-27b-15=3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

Обчислити

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$