Розв'яжіть 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 19.

$$a=-2 b=21$$

Перепишіть 6x^{2}+19x-7 як \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

2x на першій та 7 в друге групу.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-1=0 та 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, 19 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть 19 до квадрата.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Додайте 361 до 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-19±23}{12} за додатного значення ±. Додайте -19 до 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-19±23}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 23 від -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-42}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Поділіть \frac{19}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{19}{12}. Потім додайте \frac{19}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{19}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Щоб додати \frac{7}{6} до \frac{361}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Відніміть \frac{19}{12} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$