Розв'яжіть 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 56x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -30.

$$a=-28 b=-2$$

Перепишіть 56x^{2}-30x+1 як \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

28x на першій та -1 в друге групу.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-1=0 та 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 56 замість a, -30 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Піднесіть -30 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Помножте -4 на 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Додайте 900 до -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Видобудьте квадратний корінь із 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Число, протилежне до -30, дорівнює 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Помножте 2 на 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±26}{112} за додатного значення ±. Додайте 30 до 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 56, щоб звести дріб \frac{56}{112} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±26}{112} за від’ємного значення ±. Відніміть 26 від 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{112} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{28}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Ділення на 56 скасовує множення на 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-30}{56} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Поділіть -\frac{15}{28} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{15}{56}. Потім додайте -\frac{15}{56} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{15}{56} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Щоб додати -\frac{1}{56} до \frac{225}{3136}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Додайте \frac{15}{56} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$