Розв'яжіть 5x^2-x+7=0

$$5 x ^ { 2 } - x + 7 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}\approx 0,1+1,178982612i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}\approx 0,1-1,178982612i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -1 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\times 7}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-140}}{2\times 5}$$

Додайте 1 до -140.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-139}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -139.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} за додатного значення ±. Додайте 1 до i\sqrt{139}.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{139} від 1.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Поділіть -\frac{1}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{10}. Потім додайте -\frac{1}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Щоб додати -\frac{7}{5} до \frac{1}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{139}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{139}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{139}i}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{139}i}{10}$$

Додайте \frac{1}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$