Розв'яжіть 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5x^{2}+ax+bx-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Єдиною такою парою буде розв’язок системи рівнянь.

$$a=-5 b=1$$

Перепишіть 5x^{2}-4x-1 як \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки 5x в 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -4 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Додайте 16 до 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±6}{10} за додатного значення ±. Додайте 4 до 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Розділіть 10 на 10.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±6}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 6 від 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Поділіть -\frac{4}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{5}. Потім додайте -\frac{2}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Щоб додати \frac{1}{5} до \frac{4}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Додайте \frac{2}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$