Розв'яжіть 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -2 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Додайте 4 до -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4i}{10} за додатного значення ±. Додайте 2 до 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Розділіть 2+4i на 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±4i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i від 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Розділіть 2-4i на 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Поділіть -\frac{2}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{5}. Потім додайте -\frac{1}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Щоб додати -\frac{1}{5} до \frac{1}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Додайте \frac{1}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$