Розв'яжіть 5x^2=23x+42

$$5 x ^ { 2 } = 23 x + 42$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$x=6$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 23x з обох сторін.

$$5x^{2}-23x=42$$

Відніміть 42 з обох сторін.

$$5x^{2}-23x-42=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5x^{2}+ax+bx-42. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-30 b=7$$

Перепишіть 5x^{2}-23x-42 як \left(5x^{2}-30x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(5x^{2}-30x\right)+\left(7x-42\right)$$

5x на першій та 7 в друге групу.

$$5x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-6\right)\left(5x+7\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-6=0 та 5x+7=0.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Відніміть 23x з обох сторін.

$$5x^{2}-23x=42$$

Відніміть 42 з обох сторін.

$$5x^{2}-23x-42=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -23 замість b і -42 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -42.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+840}}{2\times 5}$$

Додайте 529 до 840.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1369.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±37}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$x=\frac{23±37}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{23±37}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±37}{10} за додатного значення ±. Додайте 23 до 37.

$$x=\frac{60}{10}$$

Розділіть 60 на 10.

$$x=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±37}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 37 від 23.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Відніміть 23x з обох сторін.

$$5x^{2}-23x=42$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-23x}{5}=\frac{42}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x=\frac{42}{5}$$

Поділіть -\frac{23}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{23}{10}. Потім додайте -\frac{23}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{23}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{23}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=\frac{42}{5}+\frac{529}{100}$$

Щоб додати \frac{42}{5} до \frac{529}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100}=\frac{1369}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{23}{5}x+\frac{529}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{23}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{23}{10}=-\frac{37}{10}$$

Додайте \frac{23}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=6 x=-\frac{7}{5}$$