Розв'яжіть 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -72 замість b і -108 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -72 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Додайте 5184 до 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -72, дорівнює 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} за додатного значення ±. Додайте 72 до 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Розділіть 72+12\sqrt{51} на 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 12\sqrt{51} від 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Розділіть 72-12\sqrt{51} на 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Додайте 108 до обох сторін цього рівняння.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Якщо відняти -108 від самого себе, залишиться 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Відніміть -108 від 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Поділіть -\frac{72}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{36}{5}. Потім додайте -\frac{36}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{36}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Щоб додати \frac{108}{5} до \frac{1296}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Додайте \frac{36}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$