Розв'яжіть 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5x^{2}+ax+bx-2184. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-105 b=104$$

Перепишіть 5x^{2}-x-2184 як \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

5x на першій та 104 в друге групу.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-21, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-21=0 та 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -1 замість b і -2184 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Додайте 1 до 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -1, дорівнює 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±209}{10} за додатного значення ±. Додайте 1 до 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Розділіть 210 на 10.

$$x=21$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{1±209}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 209 від 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-208}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Додайте 2184 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Якщо відняти -2184 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Відніміть -2184 від 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Поділіть -\frac{1}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{10}. Потім додайте -\frac{1}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Щоб додати \frac{2184}{5} до \frac{1}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Додайте \frac{1}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$