Розв'яжіть 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -12 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Додайте 144 до 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} за додатного значення ±. Додайте 12 до 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Розділіть 12+2\sqrt{71} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{71} від 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Розділіть 12-2\sqrt{71} на 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Поділіть -\frac{12}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{6}{5}. Потім додайте -\frac{6}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{6}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Щоб додати \frac{7}{5} до \frac{36}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Додайте \frac{6}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$