Розв'яжіть 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Розкласти на множники

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 49n^{2}+an+bn+144. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 168.

$$a=84 b=84$$

Перепишіть 49n^{2}+168n+144 як \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

7n на першій та 12 в друге групу.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7n+12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Піднесіть 168 до квадрата.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Додайте 28224 до -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{12}{7} на x_{1} та -\frac{12}{7} на x_{2}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{12}{7} до n, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{12}{7} до n, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Щоб помножити \frac{7n+12}{7} на \frac{7n+12}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Помножте 7 на 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Відкиньте 49, тобто найбільший спільний дільник для 49 й 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Обчислити

$$\left(7n+12\right)^{2}$$