Розв'яжіть 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 419 замість a, -918 замість b і 459 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Піднесіть -918 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Помножте -4 на 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Помножте -1676 на 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Додайте 842724 до -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Видобудьте квадратний корінь із 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Число, протилежне до -918, дорівнює 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Помножте 2 на 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} за додатного значення ±. Додайте 918 до 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Розділіть 918+12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} за від’ємного значення ±. Відніміть 12\sqrt{510} від 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Розділіть 918-12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Відніміть 459 від обох сторін цього рівняння.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Якщо відняти 459 від самого себе, залишиться 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Розділіть обидві сторони на 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Ділення на 419 скасовує множення на 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Поділіть -\frac{918}{419} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{459}{419}. Потім додайте -\frac{459}{419} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{459}{419} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Щоб додати -\frac{459}{419} до \frac{210681}{175561}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Додайте \frac{459}{419} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$