Розв'яжіть 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Додайте 40x до 60x, щоб отримати 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Відніміть 200 з обох сторін.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -4 замість a, 100 замість b і -200 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Піднесіть 100 до квадрата.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте -4 на -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 16 на -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Додайте 10000 до -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Помножте 2 на -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} за додатного значення ±. Додайте -100 до 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Розділіть -100+20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} за від’ємного значення ±. Відніміть 20\sqrt{17} від -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Розділіть -100-20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Додайте 40x до 60x, щоб отримати 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Ділення на -4 скасовує множення на -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Розділіть 100 на -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Розділіть 200 на -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Поділіть -25 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{25}{2}. Потім додайте -\frac{25}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{25}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Додайте -50 до \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Розкладіть x^{2}-25x+\frac{625}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Додайте \frac{25}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$