Розв'яжіть 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Додайте 25 до 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{41} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Поділіть -\frac{5}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{8}. Потім додайте -\frac{5}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Щоб додати \frac{1}{4} до \frac{25}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Додайте \frac{5}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$