Розв'яжіть 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 28 замість b і 53 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Піднесіть 28 до квадрата.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Додайте 784 до -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-28±8i}{8} за додатного значення ±. Додайте -28 до 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Розділіть -28+8i на 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-28±8i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8i від -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Розділіть -28-8i на 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Відніміть 53 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Якщо відняти 53 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Розділіть 28 на 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Поділіть 7 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{2}. Потім додайте \frac{7}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Щоб додати -\frac{53}{4} до \frac{49}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Розкладіть x^{2}+7x+\frac{49}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Відніміть \frac{7}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$