Розв'яжіть 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 21 з обох сторін.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Відніміть 21 від 1, щоб отримати -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=-4 b=5$$

Перепишіть 2x^{2}+x-10 як \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

2x на першій та 5 в друге групу.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-2=0 та 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Відніміть 21 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Якщо відняти 21 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Відніміть 21 від 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, 2 замість b і -20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Додайте 4 до 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±18}{8} за додатного значення ±. Додайте -2 до 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Розділіть 16 на 8.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±18}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 18 від -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Відніміть 1 від 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Розділіть 20 на 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Додайте 5 до \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$