Розв'яжіть 4k^2-4k-3

$$4 k ^ { 2 } - 4 k - 3$$

Розкласти на множники

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4k^{2}+ak+bk-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -4.

$$a=-6 b=2$$

Перепишіть 4k^{2}-4k-3 як \left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right).

$$\left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right)$$

Винесіть за дужки 2k в 4k^{2}-6k.

$$2k\left(2k-3\right)+2k-3$$

Винесіть за дужки спільний член 2k-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 48.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 64.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$k=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{4±8}{8} за додатного значення ±. Додайте 4 до 8.

$$k=\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{12}{8} до нескоротного вигляду.

$$k=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{4±8}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8 від 4.

$$k=-\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{2} на x_{1} та -\frac{1}{2} на x_{2}.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб відняти k від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до k, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\times \frac{2k+1}{2}$$

Щоб помножити \frac{2k-3}{2} на \frac{2k+1}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4k^{2}-4k-3=\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Обчислити

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$