Розв'яжіть 4x^2-63x+270=0

$$4 { x }^{ 2 } -63x+270=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8}\approx 7,875+2,341874249i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}\approx 7,875-2,341874249i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-63x+270=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -63 замість b і 270 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{\left(-63\right)^{2}-4\times 4\times 270}}{2\times 4}$$

Піднесіть -63 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-4\times 4\times 270}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-16\times 270}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 270.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{3969-4320}}{2\times 4}$$

Додайте 3969 до -4320.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±\sqrt{-351}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із -351.

$$x=\frac{-\left(-63\right)±3\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -63, дорівнює 63.

$$x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8} за додатного значення ±. Додайте 63 до 3i\sqrt{39}.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{63±3\sqrt{39}i}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 3i\sqrt{39} від 63.

$$x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-63x+270=0$$

Відніміть 270 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-63x+270-270=-270$$

Якщо відняти 270 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-63x=-270$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-63x}{4}=-\frac{270}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x=-\frac{270}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-270}{4} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x=-\frac{135}{2}$$

Поділіть -\frac{63}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{63}{8}. Потім додайте -\frac{63}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\left(-\frac{63}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{2}+\left(-\frac{63}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{63}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64}=-\frac{135}{2}+\frac{3969}{64}$$

Щоб додати -\frac{135}{2} до \frac{3969}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64}=-\frac{351}{64}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{63}{4}x+\frac{3969}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{63}{8}\right)^{2}=-\frac{351}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{63}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{351}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{63}{8}=\frac{3\sqrt{39}i}{8} x-\frac{63}{8}=-\frac{3\sqrt{39}i}{8}$$

Додайте \frac{63}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{63+3\sqrt{39}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{39}i+63}{8}$$