Розв'яжіть 4x^2-32x+15=0

$$4 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx+15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-32 ab=4\times 15=60$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -32.

$$a=-30 b=-2$$

Перепишіть 4x^{2}-32x+15 як \left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right).

$$\left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right)$$

2x на першій та -1 в друге групу.

$$2x\left(2x-15\right)-\left(2x-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-15\right)\left(2x-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-15=0 та 2x-1=0.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -32 замість b і 15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Піднесіть -32 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 15}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 4}$$

Додайте 1024 до -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -32, дорівнює 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{32±28}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±28}{8} за додатного значення ±. Додайте 32 до 28.

$$x=\frac{60}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{60}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{15}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±28}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 28 від 32.

$$x=\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Відніміть 15 від обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-32x+15-15=-15$$

Якщо відняти 15 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-32x=-15$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-32x}{4}=-\frac{15}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)x=-\frac{15}{4}$$

Розділіть -32 на 4.

$$x^{2}-8x=-\frac{15}{4}$$

Поділіть -8 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -4. Потім додайте -4 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-4\right)^{2}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{15}{4}+16$$

Додайте -\frac{15}{4} до 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{49}{4}$$

Розкладіть x^{2}-8x+16 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-4=\frac{7}{2} x-4=-\frac{7}{2}$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$