Розв'яжіть 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -12.

$$a=-14 b=2$$

Перепишіть 4x^{2}-12x-7 як \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Винесіть за дужки 2x в 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-7=0 та 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -12 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть -12 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Додайте 144 до 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -12, дорівнює 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±16}{8} за додатного значення ±. Додайте 12 до 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{28}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{7}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{12±16}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{8} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Розділіть -12 на 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Щоб додати \frac{7}{4} до \frac{9}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$