Розв'яжіть 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 39x^{2}+ax+bx-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 14.

$$a=-13 b=27$$

Перепишіть 39x^{2}+14x-9 як \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

13x на першій та 9 в друге групу.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-1=0 та 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 39 замість a, 14 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Помножте -4 на 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Помножте -156 на -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Додайте 196 до 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Помножте 2 на 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±40}{78} за додатного значення ±. Додайте -14 до 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 26, щоб звести дріб \frac{26}{78} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±40}{78} за від’ємного значення ±. Відніміть 40 від -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-54}{78} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Розділіть обидві сторони на 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Ділення на 39 скасовує множення на 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{9}{39} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Поділіть \frac{14}{39} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{39}. Потім додайте \frac{7}{39} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{39} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Щоб додати \frac{3}{13} до \frac{49}{1521}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Відніміть \frac{7}{39} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$