Розв'яжіть 30x^2+11x-30

$$30 { x }^{ 2 } +11x-30$$

Розкласти на множники

$$\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 30x^{2}+ax+bx-30. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=30\left(-30\right)=-900$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -900.

$$-1,900 -2,450 -3,300 -4,225 -5,180 -6,150 -9,100 -10,90 -12,75 -15,60 -18,50 -20,45 -25,36 -30,30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+900=899 -2+450=448 -3+300=297 -4+225=221 -5+180=175 -6+150=144 -9+100=91 -10+90=80 -12+75=63 -15+60=45 -18+50=32 -20+45=25 -25+36=11 -30+30=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=-25 b=36$$

Перепишіть 30x^{2}+11x-30 як \left(30x^{2}-25x\right)+\left(36x-30\right).

$$\left(30x^{2}-25x\right)+\left(36x-30\right)$$

5x на першій та 6 в друге групу.

$$5x\left(6x-5\right)+6\left(6x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 6x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$30x^{2}+11x-30=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 30\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 30\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

Помножте -4 на 30.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120\left(-30\right)}}{2\times 30}$$

Помножте -120 на -30.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+3600}}{2\times 30}$$

Додайте 121 до 3600.

$$x=\frac{-11±\sqrt{3721}}{2\times 30}$$

Видобудьте квадратний корінь із 3721.

$$x=\frac{-11±61}{2\times 30}$$

Помножте 2 на 30.

$$x=\frac{-11±61}{60}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±61}{60} за додатного значення ±. Додайте -11 до 61.

$$x=\frac{50}{60}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{50}{60} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±61}{60} за від’ємного значення ±. Відніміть 61 від -11.

$$x=-\frac{72}{60}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-72}{60} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{6} на x_{1} та -\frac{6}{5} на x_{2}.

$$30x^{2}+11x-30=30\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$30x^{2}+11x-30=30\left(x-\frac{5}{6}\right)\left(x+\frac{6}{5}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{5}{6}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$30x^{2}+11x-30=30\times \frac{6x-5}{6}\left(x+\frac{6}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{6}{5} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$30x^{2}+11x-30=30\times \frac{6x-5}{6}\times \frac{5x+6}{5}$$

Щоб помножити \frac{6x-5}{6} на \frac{5x+6}{5}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$30x^{2}+11x-30=30\times \frac{\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)}{6\times 5}$$

Помножте 6 на 5.

$$30x^{2}+11x-30=30\times \frac{\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)}{30}$$

Відкиньте 30, тобто найбільший спільний дільник для 30 й 30.

$$30x^{2}+11x-30=\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)$$

Обчислити

$$\left(6x-5\right)\left(5x+6\right)$$