Розв'яжіть 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Розкласти на множники

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Помножте та зведіть подібні члени.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Щоб розкласти на множники вираз, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -16, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 3. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-4$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 на x+4, щоб отримати 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -4, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 3. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$x=-4$$

За допомогою Ньютона, x-k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть 3x^{3}+12x^{2}-x-4 на x+4, щоб отримати 3x^{2}-1. Щоб розкласти на множники результат, розв’яжіть рівняння, у якому він дорівнює 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 3 на a, 0 – на b, а -1 – на c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Розв’яжіть рівняння 3x^{2}-1=0 для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Переписати розкладений на множники вираз за допомогою отриманих коренів. Многочлен 3x^{2}-1 не розкладається на співмножники, бо не має раціональних коренів.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Обчислити

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Додайте 48x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$